Matematika

Untuk menentukan turunan pada fungsi kita hanya harus mengkalikan nilai pangkat kepada koefisien dan mengurangi pangkat tersebut dengan 1. Sedangkan untuk konstanta maka otomatis akan menjadi bernilai 0. Supaya lebih memahaminya lagi, berikut adalah contoh soal dari turunan pada sebuah fungsi.

Contoh 1:

Tentukan Turunan pertama dari :

f(x)=3x2+2x−1

Jawab : 

Untuk mengubah soal diatas menjadi fungsi turunan pertama yaitu dengan cara berikut.

3x2 = Kita kalikan pangkatnya yaitu 2 dengan Koefisien yaitu 3 lalu kita kurangi pangkatnya 1 sehingga hasilnya menjadi 6x. Karena pangkat 1 sama saja dengan x, maka tidak perlu ditulis ulang.

2x = Untuk bentuk tanpa pangkat kita hanya menghilangkan variabelnya saja sehingga menjadi 2.

= Sedangkan untuk kosntanta yang tanpa pangkat dan tanpa variabel nilainya akan menjadi 0.

Sehingga hasilnya menjadi : f ‘ (x) = 6x + 2

Contoh 2: 

Tentukan Turunan kedua dari :

$�(�)=4{�}^3-2{�}^2+5�-1$.

Jawab :

Untuk mencari turunan kedua pada suatu fungsi diatas, maka kita harus ubah terlebih dahulu menjadi turunan pertama, ketika sudah diketahui turunan pertamanya maka kita bisa ubah menjadi turunan kedua. Berikut kita ubah menjadi turunan pertama terlebih dahulu.

4x³ = Kita kalikan pangkatnya yaitu 2 dengan koefisien yaitu 4 lalu kita kurangi pangkatnya 1 sehingga hasilnya menjadi 12x². 

2x² = Sama halnya dengan sebelumnya, kita kalikan pangkatnya yaitu 2 dengan koefisiennya 2 sehingga hasilnya menjadi 4x.

Untuk menentukan apakah suatu fungsi kontinu ada beberapa syarat yang harus diketahui sehingga kita bisa menentukan apakah suatu fungsi tersebut kontinu atau tidak. Syarat-syarat tersebut yaitu sebagai berikut.

Arti dari syarat diatas adalah dimana (1) memiliki nilai alias ada, (2) memiliki nilai alias ada, dan (3) dimana (1) dan (2) memiliki nilai yang sama. Sehingga jika ketiga syarat tersebut terpenuhi pada suati fungsi f(x) maka bisa disebut kontinu. Berikut adalah contoh soal supaya kamu lebih memahaminya lagi.

Contoh 1:

Periksa apakah fungsi berikut kontinu pada x = 1!

Penyelasaian:

Untuk mencari apakah kontinu pada x = 1. Kita gunakan syarat (1) terlebih dahulu. Karena yang ditanyakan adakah apakah kontinu di x = 1. Maka kita gunakan fungsi f(x) = x3  karena x disini memiliki nilai lebih dari atau sama dengan (≥) 1. Sehingga masukan sebagai berikut.

(1). f(1) = 1³ = 1 , dikarenakan memiliki nilai alias ada yaitu 1, maka ini disebtu kontinu. Kemudian kita cari pada syarat kedua yaitu apakah limitnya ada atau tidak. Sehingga kita buat sebagai berikut.

Berdasarkan uraian diats maka kita cari limit kiri 1(pangkat -) dan limit kanan 1(pangkat +). Jika keduanya sama, maka bisa dikatakan kontinu. Berdasarkan diatas limit kiri dan limit kanan memiliki nilai yang sama yaitu 1. Maka bisa dikatakan kontinu pada x = 1.

Suatu fungsi biasa disebut dengan f(x) yang dimana ini juga bisa disebut y. Jadi jika terdapat suatu fungsi f(x) = -x + 3 maka bisa disebut juga y = -x + 3. Untuk mencari gambar dari grafik suatu fungsi maka kita perlu mencari terlebih dahulu berapa nilai dari x dan y. Yang dimana jika sudah diketahui nilai dari x dan y maka kita dapat membuat grafik dari kedua titik tersebut. Untuk lebih memahaminya lagi, berikut adalah contoh soal dari cara membuat grafik fungsi pada suatu fungsi.

Contoh 1:

Gambarkan grafik fungsi dari f(x) = {-x + 3, x > 1

Pertama, untuk supaya kita dapat membuat grafik fungsi dari diatas maka kita ubah terlebih dahulu menjadi seperti dibawah ini.

y = -x + 3, x > 1

Kita urai menjadi penjelasan yang bisa disebut x disini memiliki nilai lebih dari 1, nilai yang lebih dari 1 bisa kita sebut sepert 2, 3, 4, dan seterusnya.

Kita bisa ambil terlebih dahulu bahwa x memiliki nilai 2, maka kita substitusikan x menjadi angka 2, sehingga seperti dibawah ini.

y = -2 + 3

y = 1

maka sudah diketahuilah jika x-nya adalah 2, maka nilai y adalah 0. Sehingga diketahui suatu titik x dan y yaitu (2,1). Selanjutnya kita dapat membuat gambar grafik fungsinya seperti dibawah ini.

Contoh 2:

Persamaan dan pertidaksamaan adalah dua konsep dasar dalam matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan atau relasi antara dua ekspresi atau nilai. Untuk menyelesaikannya kita harus memahami bedanya konstanta dan koefisien, substitusi, eleminasi dan lainnya. Untuk lebih memahaminya lagi berikut adalah pengertian keduanya:

1. Persamaan:

Persamaan adalah suatu pernyataan matematika yang menyatakan bahwa dua ekspresi atau nilai memiliki nilai yang sama. Persamaan dapat terdiri dari variabel dan konstanta, dan tujuan utama adalah menemukan nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Solusi dari persamaan adalah nilai variabel yang membuat kedua sisi persamaan menjadi sama. Biasanya disimbolkan dengan sama dengan (=).

Contoh 1:

2x + 3 = 7

adalah suatu persamaan karena menyatakan bahwa ekspresi 2x + 3 memiliki nilai yang sama dengan 7. Namun kita harus mengetahui berapa nilai x terlebih dahulu sehingga pertambahan tersebut lebih masuk akal untuk menghasilkan angka 7. Untuk menyelesaikannya adalah sebagai berikut.

2x + 3 = 7 , pertama kita pindah ruaskan kontanta ke ruas kanan, didalam soal ini yang menjadi konstanta adalah angka 3 dan 7, karena angka 7 sudah ada di ruas kanan, maka kita hanya pindahkan angka 3 ke ruas kanan dan berubah yang asalnya positif menjadi negatif dan begitu pula sebaliknya. Sehingga menjadi seperti berikut.

2x = 7 – 3 , kedua kita proses 7 – 3 terlebih dahulu maka hasilnya menjadi seperti dibawah ini.

2x = 4 , kemudian sekarang kita bisa mencari nilai x dengan cara konstanta yang ada di ruas kanan yakni 4 kita bagi dengan koefisien yakni angka 2 tersebut, disini koefisien tidak berubah menjadi negatif. Sehingga menjadi seperti berikut ini.

x = 4/2

x = 2 , maka sudah diketahuilah nilai x pada sebuah persamaan 2x + 3 = 7 adalah 2.

Berikut adalah contoh lainnya beserta penyelesaiannya:

Contoh 2:

2x = 6

x = 6/2

x = 3

Contoh 3:

3x + 12 = 3

3x = 3 – 12

3x = -9

x = -9/3

x = – 3